Nautilus: un viaje arriesgado hacia el Imperio Cobra

Con el mismo interés con el que estoy ahora volviendo a escribir en este blog creado hace ya más de diez años, retomé este verano las partidas a un juego de mesa llamado En busca del Imperio Cobra con el que disfruté hace todavía más tiempo. Y es que supongo que el cerebro siempre deja abierta una puerta por la que poder acceder y retomar aquellos sentimientos y vivencias que, en su día, nos marcaron de alguna manera.

El blog lo creé para una asignatura de un máster relacionado con el periodismo científico al que me inscribí pero al que nunca pude dedicar tiempo suficiente. En realidad, casi nada de tiempo. Entre lo poco que sí hice fue escribir dos entradas para el blog, y más bien por insistencia de un profesor que proponía algo distinto al resto: empezar a escribir lo que nos interesara y publicarlo en la red. La experiencia me resultó divertida. De hecho, este blog y una plataforma de publicaciones sobre ciencia (E-ciencia.com [1]), donde también colgábamos los artículos, los seguí consultando de cuando en cuando, si bien nunca saqué tiempo para seguir aportando contenido alguno.

En busca del Imperio Cobra, sin embargo, es un juego que estuvo presente regularmente en el tiempo libre que teníamos mis amigos y yo, allá por la segunda mitad de la década de los ochenta. Época que recuerdo llena de tiempo libre. Incluso me viene a la mente tardes aburridas tirando piedrecitas a la nada sentados en una acera. Todo eso se me antoja ahora un lujo. Pero eso es otro tema, no nos perdamos.

Pues bien, yendo un poco al grano, durante este pasado verano he vuelto a retomar las partidas a En busca del Imperio Cobra, preferentemente durante la hora de la siesta, antes de ir a la playa o a la piscina por la tarde. Ha sido gracias a mis hijos, Nicolás y Guillermo, que desde el día que descubrieron en el trastero la caja del juego se quedaron fascinados. Y es que llama la atención la caja del juego. En ella se ve a la Cobra erguida y amenazante, portando el rubí (Ojo Mágico) en el centro de mandos. 

El tablero también resulta muy atractivo, con la selva de Khytya, el desierto de Vendha, las nieves de Hyrca y la propia Isla Cobra, con los Hombres Cobra y la Cobra protegiendo el Ojo Mágico.  Además, a lo largo del tablero existen localizaciones entrañables como El Palacio de Cristal, La Ciudad de Plata, El Templo de las Mil puertas o El Dragón de las Tres Cabezas, entre otros.

Este juego es uno de los muchos diseños que Pepe Pineda realizó en la década de los ochenta para CEFA [2]. Además de En Busca del Imperio Cobra, también diseñó juegos como El Misterio y Alerta Roja y rediseñó juegos clásicos como El Palé y La Ruta del Tesoro.

Para el correcto desarrollo del juego un jugador debe ser la Cobra y los Hombres Cobra, mientras que los demás jugadores deberán ser alguno de los tres Héroes. Así, en nuestras partidas, normalmente Guillermo era la Cobra, implacable, mientras que Nicolás, María y yo, éramos los Héroes.

Durante la partida, los Héroes tienen que completar una serie de misiones u oráculos (usando armas mágicas como la espada, el hacha o el amuleto en destinos concretos a lo largo del tablero) para poder así viajar al Imperio Cobra e intentar arrebatar el Ojo Mágico a la Cobra.

Una vez completados los tres oráculos, los Héroes pueden llegar al Imperio Cobra utilizando un Dragón Blanco o el Ave Fénix. Sin embargo, existe en el juego una carta singular que permite a los Héroes entrar a la Isla del Imperio Cobra sin haber superado las tres pruebas. Esta carta es el Nautilus. 

Ahora bien, tal y como se describe en la carta, el jugador que decida hacer uso de ella deberá obtener una puntuación superior a veinte en el transcurso de cinco tiradas del dado. En caso contrario irá al Pozo de los Condenados, una cárcel de la que solo se podrá salir con otra carta especial o sacando un cuatro y, en cualquiera de estas dos situaciones, el Héroe volverá a su punto de partida en la selva de Khytya, en el desierto de Vendha o en las nieves de Hyrca.

Curiosamente, en la primera partida que jugamos, mi hijo Nicolás hizo uso del Nautilus y consiguió sacar más de veinte y llegar al Imperio Cobra. Sin embargo, en las siguientes partidas, todo aquel que lo intentó acabó en el Pozo de los Condenados. Así, llegó un punto donde la carta ya no resultaba atractiva y ya nadie quería emprender un viaje en submarino a bordo del Nautilus.

Pues bien, ahora sí vamos a ir al grano y a calcular cuál es la probabilidad de poder llegar al Imperio Cobra haciendo uso del Nautilus, o lo que es lo mismo cuál es la probabilidad de sacar más de veinte tirando cinco veces un dado. Para ello vamos a utilizar principalmente permutaciones con repetición, que nos serán útiles para calcular el número de casos favorables (aquellos donde los dados sumen 21 o más). El cálculo de casos posibles es mucho más sencillo y para ello utilizaremos las variaciones con repetición. La probabilidad que queremos calcular será el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.

Para esta entrada del blog, como planteamos un problema donde se tira más de un dado y los valores en cada tirada pueden repetirse (por ejemplo, que salga en dos tiradas, o más, un 6), vamos a seleccionar fórmulas de combinatoria con repetición. En el siguiente cuadro se pueden ver las diferencias entre variaciones, permutaciones y combinaciones, todas ellas con repetición.

La diferencia entre las VR y las PR se basa en que en las primeras se hacen subgrupos (puede haber distinto número de dados donde haya salido un 4 o un 5, por ejemplo, al considerar las 5 tiradas) mientras que en las PR no se hacen subgrupos y se utilizan todos los elementos (por ejemplo, se considera que en tres dados ha salido un 5 y en dos dados un 4). De esta manera, si no pusiéramos ningún límite en cuanto a la suma de las tiradas (pudiera ser cualquier valor y no siempre mayor de 20), la suma de todas la posibles PR sería igual a las VR, puesto que los casos favorables serían igual a los posibles.

En el caso de las CR también se hacen subgrupos como en las VR. Sin embargo, al contrario que en las VR y PR, en las CR no importa el orden de las tiradas siempre y cuando contenga los mismos valores. Por tanto, en nuestro problema no haremos uso de CR, ya que nosotros necesitamos considerar como cinco sucesos favorables, por ejemplo, las tiradas 66665, 66656, 66566, 65666 y 56666, y no como un único suceso favorable a la hora de calcular la probabilidad de tener éxito al usar la carta del Nautilus.

Así, primero vamos a calcular los casos posibles:

Para calcular los casos favorables, lo primero es plantear los requisitos para que la suma de las cinco tiradas sea mayor que 20:

• Al menos debe haber un 5 o un 6 entre las cinco tiradas, puesto que suponiendo cinco tiradas con un valor de 4 nos saldría un total de 20 (4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20). Esto no cumple lo requerido por la carta;
•  Habrá que calcular las PR empezando por el caso favorable con valor más alto (en todos los dados sale un 6). Y, posteriormente, seguir calculando las PR de casos favorables disminuyendo el número de dados donde sale un 6;
• A continuación, habrá que calcular las PR de casos favorables con tiradas distintas a 6 y que contengan dados donde salen 5. 
• De nuevo habrá seguir calculando las PR de casos favorables disminuyendo el número de dados donde sale un 5 (y ningún 6) y terminar por el caso favorable con valor más bajo que no contiene un 6 y solo contiene un 5 (5 + 4 + 4 + 4 + 4 = 21).

Al considerar PR para cinco tiradas de dado tenemos siete situaciones o número de permutaciones con repetición posibles:

I.  En los cinco dados sale el mismo resultado (cinco iguales). Ejemplo: que salga en los cinco dados un 6.

 II.  En cuatro dados sale el mismo número y un número distinto en el dado restante (4 iguales, 1 igual). Ejemplo: que salga en cuatro dados un 4 y en el otro un 5.

  III.  En tres dados sale el mismo número y en los otros dos dados también un mismo número pero distinto al anterior (3 iguales, 2 iguales). Ejemplo: que salga en tres dados un 4 y en los otros dos un 6.

  IV.  En tres dados sale el mismo número y en los otros dos dados números distintos entre sí (3 iguales, 1 igual, 1 igual). Ejemplo: que salga en tres dados un 4, en uno un 5 y en el otro un 6.

  V.  En dos dados sale el mismo número, en otros dos dados también un mismo número pero distinto al anterior y en el otro dado un número distinto a los anteriores (3 iguales, 1 igual, 1 igual). Ejemplo: que salgan en dos dados un 5, en dos dados un 4 y en el otro un 3.

  VI.  En dos dados sale el mismo número y en los otros tres dados números distintos entre sí (2 iguales, 1 igual, 1 igual, 1 igual). Ejemplo: que salgan en dos dados un 6, en otro dado un 5, en otro un 4 y en el otro un 3.

VII.  No se contempla que las cinco tiradas den un número distinto porque en ningún caso la suma sería superior a 20. Por ejemplo, 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20.

Así, en la siguiente tabla se representan todos los casos favorables para la tirada de cinco dados que permitirían al Héroe viajar al Imperio Cobra, o lo que es lo mismo, que sumarían al menos 21.

Cabe destacar que el número de filas de la tabla donde se incluyen tiradas (49 entradas) coincide con el número de CR donde la suma es mayor de 20. Si hubiésemos incluido en la tabla todas las entradas sin importar que la suma fuese igual o inferior a 20, entonces habría un total de 252 entradas, que se correspondería con la aplicación de la fórmula de combinaciones con repetición [3].

Finalmente, como ya conocemos el número de casos favorables (PR con tiradas superiores a 20) y el número de casos posibles (VR), podremos definir la probabilidad de que la carta del Nautilus nos sea ayuda al utilizarla en el juego.

Por tanto, podemos concluir que la probabilidad de éxito que tiene un Héroe para llegar al Imperio Cobra utilizando la carta del Nautilus es de alrededor del 13 %. Este valor es, como sospechábamos por la experiencia, bastante bajo.

De tal forma que si bien el Nautilus puede facilitar bastante las cosas en el juego, pues permite al jugador no realizar todas sus misiones para poder llegar al Imperio Cobra y desafiar a la Cobra, la baja probabilidad de sacar más de 20 tirando cinco dados seguidos, junto con la penalización de ir al Pozo de los Condenados por no conseguirlo, hace que sea poco recomendable jugar la carta. Resultaría, en caso contrario, un viaje arriesgado hacia el Imperio Cobra.

En cualquier caso, esta carta tan peculiar del juego me ha permitido escribir otra entrada en el blog y repasar las combinaciones, variaciones y permutaciones con repetición, particularmente estas últimas. Por lo que no voy a negar que le he cogido cierto cariño al Nautilus.

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[1] E-ciencia.com: portal creado por Alex Dantart Usón y Alex Fernández Muerza. Estuvo activo entre 2001-2018.
[2] https://verne.elpais.com/verne/2015/07/07/articulo/1436260558_431712.html.
[3]

Opositando en el multiverso

En los procesos selectivos para poder optar a una plaza de funcionario de carrera en la administración pública suele haber un ejercicio que se conoce como el de “bolas”. En este ejercicio, que suele ser de los más exigentes sino el que más, el opositor debe escribir y/o exponer oralmente un número concreto de temas (bolas) seleccionados al azar de entre todos los posibles temas que engloban el temario de la oposición.

La principal dificultad reside en que el número de temas suele ser elevado. Además, como generalmente se sacan más bolas que temas a desarrollar en el examen, se suele exigir que todos los temas seleccionados por el opositor se expongan con gran detalle para poder aprobar el ejercicio. Sin olvidar que se trata de un proceso selectivo donde no solo hay que aprobar sino estar dentro de las posiciones que dan lugar a una plaza.

Teniendo en cuenta que preparar cada tema con suficiente detalle y, a su vez, ajustado al tiempo del que se dispondrá en el examen requiere dedicación y capacidad de memoria, el opositor puede plantearse reducir el número de temas a estudiar en función de la probabilidad de pasar el ejercicio.

Supongamos el siguiente ejemplo:

Una oposición para la Administración General del Estado que consta en su “ejercicio de bolas” de 30 temas para la parte general y 75 para la parte específica. De la parte general se extraen 2 bolas al azar y los opositores deberán seleccionar 1 de ellas. Por otro lado, de la parte específica se extraen 4 bolas al azar y los opositores deberán seleccionar 2 de ellas. En total, los opositores deberán desarrollar 3 temas en 3 horas.

Para poder visualizar mejor las probabilidades tendremos en consideración 3 opositores: Manuel, Patricia y Rubén. Además, contemplaremos 20 sorteos diferentes representando la distinta suerte de estos opositores en un número equivalente de posibles universos dentro del multiverso.

Para relacionar la probabilidad de aprobar el ejercicio con el número de temas estudiados, tendremos que separar los temas de la parte general de los temas de la específica, y en cada parte definir el espacio muestral.

En la parte general (2 bolas se extraen y 1 se escoge) el espacio muestral es muy simple:

 Suspenso: las 2 bolas se corresponden con temas no estudiados;

·        Aprobado: la bola A se corresponde con un tema estudiado y la bola B con uno no estudiado;

·        Aprobado: la bola A se corresponde con un tema no estudiado y la bola B con uno estudiado;

·        Aprobado: las 2 bolas se corresponden con temas estudiados;

Así, lo más fácil es seleccionar el caso del supuesto suspenso y calcular la probabilidad del suceso:

x = nº de temas no estudiados; 
n = nº de temas totales (en la  parte general serían 30)

A continuación, para calcular la probabilidad de aprobar la parte general, simplemente le restamos a 1 el valor previamente calculado:

En la parte específica (4 bolas se extraen y 2 se escogen) el espacio muestral es más grande. En este caso usaremos una tabla para ver los posibles sucesos por los que se suspendería:

El resto de los sucesos no incluidos en la tabla implicarían aprobar esta parte específica:

• Haber estudiado 2 de los 4 temas (6 sucesos posibles[1]);
• Haber estudiado 3 de los 4 temas (4 sucesos posible); 
• Haber estudiado los 4 temas (1 suceso posible).  

De nuevo lo más fácil es seleccionar los casos de supuesto suspenso y calcular sus probabilidades. La suma de todas ellas será la probabilidad de suspender la parte específica; por lo que para obtener la probabilidad de aprobar la parte específica sólo tendremos que restarle a 1 dicho resultado:

x = nº de temas no estudiados; n = nº de temas totales (en la parte específica serían 75)

Por tanto, la probabilidad de suspender la parte específica sería:

Y la probabilidad de aprobar la parte específica sería:

Finalmente, como la probabilidad de aprobar la parte general y la específica son independientes, nos quedará multiplicar ambas probabilidades para obtener la probabilidad global de pasar el ejercicio:

Y si queremos saber la probabilidad en forma de porcentaje, solo tendremos que multiplicar el valor obtenido anteriormente por 100:

Así, una vez desarrolladas todas las fórmulas, veamos las probabilidades de aprobar el ejercicio que tienen a priori nuestros tres opositores:

Para intentar reflejar mejor los números y/o probabilidades desarrollados anteriormente, consideremos ahora el concepto del multiverso como posible[2]. En él se concibe la existencia de infinitos universos paralelos y, por tanto, la presencia de infinitos planetas habitados similares al nuestro, donde se ejecuta cualquier permutación posible de cualquier decisión vital que tomemos.

Esta idea del multiverso es una de las muchas consecuencias de las observaciones cosmológicas. Se basa en teorías contrastadas como la mecánica cuántica y la relatividad. Además, cumple con los criterios básicos de la ciencia empírica: predice y es falsable. 

Existen distintas teorías para describir el multiverso y éstas se pueden representar por niveles[3]. En los diferentes niveles se tienen en cuenta, a su vez, distintas escalas, tanto en el espacio real o en el reino abstracto de la ramificación cuántica, posibles variaciones de las condiciones iniciales y de las constantes físicas, e incluso se consideran universos paralelos que difieren de las leyes de la física actuales.

Dada la elevada complejidad de los distintos niveles que se teorizan para el concepto del multiverso, vamos a simplificar y asumir que nuestro mundo no es más que uno de los posibles universos permitidos por los principios de la física cuántica, los cuales existen simultáneamente en el espacio infinito de probabilidades.

Así, llevaremos a cabo 20 sorteos distintos para el “ejercicio de bolas”, cada uno de los cuales podría relacionarse con una medida y, a su vez, con el destino de nuestros opositores en una muestra de posibles universos paralelos.

En este caso, los resultados obtenidos en los 20 sorteos se ajustan muy bien a las probabilidades teóricas de aprobar descritas para Manuel, Patricia y Rubén (100 %, 77 % y 89%, respectivamente). Así, Manuel sería, lógicamente, un hombre feliz en los 20 universos paralelos observados, mientras que Patricia y Rubén no estarían tan contentos en alguno de esos mundos. En concreto, Patricia aprobaría en 15 de los 20 universos paralelos (75 %) y Rubén en 18 de los 20 universos paralelos (90 %).

Por suerte para nuestros tres opositores, el sorteo que deparó el ejercicio en nuestro mundo permitió a los tres aprobar…y fueron felices y comieron perdices…y disfrutaron de días moscosos.

Referencias:

[1] Para calcular el número de sucesos posibles se tiene que usar la fórmula de permutaciones con repetición. Para este caso sería P₄ (r: 2, 2) = 4!/(2! * 2!) = 6.

[2] Existe un monográfico interesante de 2018 publicado por la revista Investigación y Ciencia titulado Multiverso ¿fantasía científica o necesidad teórica?  

[3] Max Tegmark, ¿por qué el multiverso? Universos paralelos. Investigación y Ciencia, nº 322, julio de 2003.

[4] Las gráficas han sido generadas con Rstudio (https://www.rstudio.com/)

[5] Los iconos de los opositores se han seleccionado de la página web https://www.freepik.com

[6] Los personajes y hechos retratados en este artículo son completamente ficticios. Cualquier parecido con personas verdaderas, vivas o muertas, o con hechos reales es pura coincidencia.